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第二节 计数资料的显著性检验
作者：徐荣祥 出书社：中国科学技术出书社 刊行日期：2009年7月
对于计数资料这些相对数我们只知它们的崎岖，不知其有无统计学意义，只有通过相对数的显著性检验方能明确。常用要领为U检验与χ2检验。
一、率的u检验
率的u检验是应用范围较为广的一种显著性检验要领，但是在用于样本率与总体率比力时，或两个样本率比力时，应当考虑其差异是否由于抽样误差所造成的。大样本的样本率漫衍近似正态漫衍，可用正态漫衍的规律检验样本率与总体率或两个样本率差异的显著性。其判断尺度为：
（一）样本率与总体率的比力
样本率与总体率比力的目的是推断该样本所代表的总体率与已知总体率是否相同。公式为：
p为样本率，π为总体率，σP为率的尺度误，由总体计算得出
示例343凭据临床经验，胃十二指肠溃疡患者中，一般情况下有20%的病人会发生胃出血症状，现某医院视察烧伤病人152例，其中48例伤前有过胃出血病史，问伤前患有胃十二指肠溃疡的烧伤病人是否容易发生胃出血？
【解题步骤】
可将该例中胃十二指肠溃疡患者有20%发生胃出血率视为总体率π（是把人们公认或经验数值作为总体率）。
1建立检验假设：假设患有胃十二指肠溃疡病的烧伤病人胃出血率（p）与一般胃十二指肠溃疡患者的出血率（π）无差异，即样本率（P）是由总体率（π）中随机抽取的，两者无差异。事实上，实验研究结果总是有两种情况：一种是接受所建立的检验假设，一种是拒绝建立的检验假设。
①设前者为H0：π=π0；②设后者为H1：π≠π0。
2确立显著性水准：α=005
3计算u值：将示例343中数据代入公式（346）：
4确定P值：因为u=358，而358＞258，故P＜001。
5推断结论：在α=005水准上，拒绝H0，接受H1，因P＜001，所以有非常显著性差异，伤前患有胃十二指肠溃疡的烧伤病人，其胃出血率与一般胃十二指肠溃疡患者的出血率有本质差异，可认为患胃十二指肠溃疡的烧伤病人较一般胃溃疡患者容易发生胃出血。
（二）两个样本率比力的U检验
两个样本率比力的目的是推断两个样本各自代表的两个总体率是否相同。常用U检验和χ2检验：
U检验计算公式：
示例344如某医院对1 329例烧伤病人进行应激性溃疡出血的预防性治疗，有56例发生了胃出血，发病率为421%，1 670例伤情相似的病人未进行预防性治疗，其出血率达832%，问两组样本应激性溃疡出血的发病率有无差异？
【解题步骤】
1建立检验假设：H0：π1=π2，H1：π1≠π2。
2确定显著性水平：α=005。
3计算u值：n1=1329，X1=56，P1=00421（56/1329），n2=1670，X2=139，P2=00823（139/1670）。
代入公式（349）、（3410）、（347）：
4确定P值：因425＞258，故P＜001。
5推断结论：在α=005的水准上，拒绝H0，接受H1。因P＜001，差异有高度显著性，故认为预防性治疗组与对照组的应激性溃疡出血率有本质差异，预防组应激性溃疡出血发生率低于对照组，预防治疗有效。
二、χ2检验
χ2检验是英国统计学家Kpearson提出的，后经Yates校正革新，现已成为专用于两组百分率的常用显著性检验公式。“χ”为希腊字母，读音为“Kai”，故χ2检验法又称“卡要领”。应用范围与U检验不完全相同，前者主要针对样本率与总体率进行比力，也可用于两个样本率的比力；而χ2检验主要用于推断两个及两个以上总体率（或组成比）之间的检验，检查两个分类变量之间有无关系（或关联）。
（一）χ2检验基本公式与计算要领
χ2检验的基本公式：
A为实际视察数，T为理论计算值， ∑（希腊字母，读音Sigma）体现总和。举例解释其要领及原理。
示例345某医院对过去治疗的烧伤并发败血症的病例进行回顾性总结，205例大面积烧伤病人并发败血症的例数为43，而134例中等烧伤面积病人并发败血症的例数为13，问败血症的发生与烧伤面积有无关系？
【解题步骤】
1将视察资料列入表（表342）中：
2建立“检验假设”（无效假设），即假如大面积与中等面积烧伤组的败血症发生率之间没有本质差异，说明败血症的发生率（21%和97%）来自同一总体，这种差异是由抽样误差造成的。凭据这个假设，可以用两个组的合计发病率（165%）为假设的理论总体，并以此作为计算值的理论基础。
3计算各组的理论数T值：理论数值是凭据检验假设推论的两组病人数中应有的发生败血症人数，即两组都按165%患病率计算，应当有几多人患病与不患病。大面积烧伤组205人，乘以合计患病率165%，便是大面积烧伤组理论上应当发生败血症的人数（205×165%=3383），即为理论值；而未发生败血症的人数为（205-3383=17117）17117。同理，再求出中等烧伤面积组病人的理论值为2211，不发生败血症的理论值为（134-2211=11189）11189。
将计算的理论值汇入表343中。
4代入χ2值公式（3411）计算χ2值：
χ2值无单元，与它相应的概率为5%的χ2值（χ2 005）和概率为1%的χ2值（χ2001），可由卡方简明界值表344中查出。
如果上述检验正确，A-T差值不会太小，如A-T相差太大，检验假设建立的可能性就不大。
5凭据χ2值与自由度查χ2值表：首先确定自由度（df或n′或r，），因四格表中有四个理论值，只要先用乘除法求出任何一个，其余三个可用减法求出。这种必须先用乘除法求出理论值的格子数叫自由度。计算要领：
n′=（行数-1）（列数-1），四格表中为两行、两列，故：
n′=（2-1）（2-1）=1。
查简明χ2值表（表344，或查有关书籍卡方界值表）：当n′=1时，χ2005=663，本例χ2=747，大于663，已凌驾χ2005=663水平，但小于χ20005=788水平，故P＜001。
（二）四格表资料的χ2检验（两个样本率的比力）
四格表资料的χ2检验法是应用最为广泛和最为方便的一种要领，它所检验的仅是两个率的比力�；灸Ｊ酵肌⒐胶徒峁卸铣叨热缦拢�
4计算步骤：
（1）先将题目中的数据按四格表模式图形式制表排列（用实际数字，不用百分率）。
（2）代入公式(3412)，计算χ2值，χ2值是统计值，数值越大统计意义越大。
（3）凭据χ2值的巨细，按P值判断尺度确定P值巨细。
（4）做出统计结论。
示例346用甲法治疗大面积烧伤（甲组）71例，有52例并发全身性熏染，用乙法治疗的大面积烧伤（乙组）42例，有3例并发全身性熏染。问两组熏染发生率有无统计学差异？
【解题步骤】
1按四格表模式重新制表（表347）：
2计算χ2值(公式342)：
3计算自由度：因为自由度（n′）=1{（行-1）（列-1）=（2-1）（2-1）}，故本研究自由度为1（1×1）。
4按表344尺度确定P值：因χ2值在384和663之间，故P＜005，组间有显著性差异。
5结果判断：因P＜005，说明乙法治疗的大面积烧伤病人并发全身性熏染的机会低于甲组。
（三）行×列表资料的χ2检验
以上讲的是两个样本率的检验，用四格表法，但当行数或列数大于2时，应当用行×列表资料的χ2检验，又称R×C表资料�；竟剑�
A为各格子的实际频数，nR、nC为各实际频数所对应的行的合计数和列的合计数，N为总合计数。
该公式是由基本公式转换而来，不需要求理论频数，方便实用。
示例337甲乙丙三所医院同期对某药进行抗熏染疗效视察，甲院视察了29例，有效（23例）率为793%，乙院视察了44例，有效(14例)率为318%，丙医院视察了11例，有效（3例）率为273%（资料见表348）。问3所医院抗熏染治疗的总体有效率是否有显著意义？
【解题步骤】
1建立检验假设：H0：3所医院的有效率相等，π1=π2；H1：3所医院的有效率不相等，H1：π1≠π2。
2确定显著性水平：α＝005。
3凭据χ2基本计算公式（3413）计算χ2值：
4确定自由度（n′）=（2-1）（3-1）= 2。
5查χ2值表确定P值：查表344可知，χ2005（2）=1060，今χ2=17907，＞χ20005(2)，故P＜0005。
6推断结论：在α=005水准上，拒绝H0，接收H1，故该药在三所医院的抗熏染效果存在统计学差异（P＜0005）。
（四） 二列多格资料χ2值检验
二列多格资料χ2值检验也称多个样本率的比力，其目的是推断它们所代表的总体率是否相等。该类资料的基本数据有R行（样本个数），2列（指样本的阳性数与阴性数），所以又叫R×2列联表或列联表(contingency table)。
公式同基本公式（3413），计算出的资料可以进行相关分析。
示例348（百分比相互比力）：某医院视察严重烧伤病人早期延迟治疗对休克发生率有无影响，视察时间分别为伤后大于18小时（甲组）、伤后6～18小时（乙组）和6小时以内（丙组）3个接受治疗小组，结果汇于表349中。问延迟治疗对烧伤休克的发生率有无统计学差异，或相互之间有无关联？
【解题步骤】
1建立检验假设：设H0：三种差异治疗时间休克发生率相等；设H0：π1=π2；三种差异治疗时间休克发生率不完全相等，H1：π1≠π2。
2确定显著性水平：α=005。
3计算χ2值：将表349中的数字代入公式3413，得：
4计算自由度：（n′）=（2-1）（3-1）= 2。
5确定P值：因n′=2，查χ2值表（344），χ20005（2）=1060，本研究χ2＝24776＞χ20005（2）（1060）水平，P＜0005。
6推断结果：在α=005水准上，拒绝H0，接受H1，因P＜0005，差异有高度显著性，故认为严重烧伤病人早期接受治疗对休克发生率有明显影响作用，即可降低休克发生率。
7为了进一步说明它们之间的密切关联水平，可凭据公式计算关联系数：
凭据四格表的pearson列联系数值r在0～1之间。r值愈接近0，说明两个分类变量的关系愈弱，r值愈接近1，说明关系愈密切。因为r=0462，说明延迟治疗时间与休克发生率具有一定的关联性。
示例349（样本结构比相互比力）：某院2004年收治小儿烧伤145例，致伤因素：热液150例，火焰10例，电流7例，其他23例；成人烧伤188人，致伤因素：热液50例，火焰48例，电流18例，其他72例（资料见表3410），问小儿烧伤原因与成人烧伤原因相互之间是否有关联性？
【解题步骤】
1建立检验假设和确定显著性水平：①设H0：两组病人伤因组成相等，H0：π1=π2；②设H1：两组病人伤因组成不完全相等，H1：π1≠π2。
2显著水平：α=005。
3计算χ2值：可将表3410中的数字代入公式（3413），得：
4计算自由度：（n′）=（2-1）（4-1）= 3。
5确定P值：n′=3，查χ2值表（344），χ20005（3）=1284，今χ2=7014，故P＜0005。
6推断结果：在α=005水准上，拒绝H0，接受H1，因P＜0005，差异有非常显著意义，故认为小儿烧伤病人的致伤因素组成比与成人差异，说明小儿以热液烫伤多见，其他伤因组成比低于成人组。
7为了进一步说明它们之间的密切关联水平，可凭据公式3414计算关联系数：
因为r=0417，说明儿童烧伤伤因与成年人烧伤伤因之间具有一定的关联性。由于儿童热液烫伤发生率为724%，成人热液烫伤发生率为266%，两者是否存在显著性差异，需要进行两两比力方可明确。
（五） 多列多格资料χ2值检验
临床经常遇到3组或3组以上的多格资料，其计算要领仍以公式（3413）为基础 。现举例说明：
示例3410（计数资料相关分析）：某烧伤中心视察了176例吸入性损伤病人的差异伤情与呼吸困难的各自例数，问呼吸困难水平与吸入损伤伤情之间有无关联性（数据资料汇于表3411中）？
【解题步骤】
本例的设计和分析目的与上述例子差异。它并非是两个样本率与总体率、多个样本率与总体率或组成比之间的比力，而是单一样本自身的比力，每个工具分别按两种标志分级（伤情与呼吸困难），属于双相率的计算，目的是推测两种标志之间有无相关性。
1建立检验假设：①设H0：呼吸困难水平与吸入性损伤水平无关；②设H1：呼吸困难水平与吸入性损伤水平有关。
2确定显著水准：α=005。
3计算χ2值：将表3411中的数字代入公式3413，得：
4计算自由度：（n′）=（3-1）（3-1）= 4。
5确定P值：n′=4，查χ2界值表（324），χ20005(4)=1486，本研究χ2=179623，＞χ20005(4)（1486）水准，P＜0005。
6推断结果：在α=005水准上，拒绝H0，接受H1，因P＜0005，差异有高度显著性，故认为呼吸困难水平与吸入性损伤水平关联密切。
7为了进一步说明它们之间的密切关联水平，可凭据公式（3414）计算关联系数：
因为r=07316，说明呼吸困难水平与吸入损水平具有明显的关联性，即吸入损伤越重，呼吸困难越严重。
（六） 配对计数资料的χ2检验
计数资料的配对设计常用于两种检验要领，如培养要领、诊断要领的比力。其特点是对样本中的各视察单元分别用两种要领处置，然后视察两种要领的结果。此类资料可用配对χ2检验，比力两个率之间是否有差异。从配对设计来说，配对计数资料与前边所介绍的配对计数资料是相同的，都是把两种处置因素分别施加于条件相似的受试工具上，或先后施于同一工具上。配对记录试验结果如为计量资料，即属计量配对资料；若结果为计数资料，即属于计数配对资料。配对计数资料的χ2检验包罗两个内容：①分析它们的相关关系；②分析处置结果有无差异。
示例3411：100个深Ⅱ度烧伤创面，每个创面分别用两种要领（甲法与乙法）诊断。结果：甲法阳性者为67个，乙法阳性者50个；其中甲乙两法均阳性者（a）39个，甲乙两法均阴性者（d）22个，甲法阳性乙法阴性者（d）28个，乙法阳性甲法阴性者（c）11个（资料见表3412）。问甲乙两种要领的诊断结果有无关联及统计学差异？
【解题步骤】
第一步：分析两种诊断结果有无相关关系，每个工具按两种处置结构分组，故可用四格χ2检验公式计算，推断两种诊断要领之间有无相关关系：
1建立检验假设：①设H0：甲乙诊断要领之间无关；②设H1：甲乙诊断要领之间有关。
2确定显著水准：α=005。
3计算χ2值：将表3412中的数字代入公式3412，得：
4计算自由度：（n′）=（2-1）（2-1）=1。
5确定P值：n′=1，查χ2值表（344），χ2005=3841，χ2001=6635，本研究6推断结果：在α=005水准上，拒绝H0，接受H1，因P＜005，差异有显著性，故认为两种诊断水平关联密切。
第二步：计算两种处置结果有无差异：计算公式为（3415）：
1建立检验假设：①设H0：两总体b=c；②H1：两总体b≠c。
2确定显著水准：α=005
3计算χ2值：将表3412中的数字代入公式3415，得：
4自由度：n′=1。
5确定P值：n′=1，查χ2值表（344），χ2005=3841，χ2001=6635，本研究χ2=6564，介于χ20005和χ2001水准之间，故P＜005。
6推断结果：在α=005水准上，拒绝H0，接受H1，因P＜005，差异有显著性，故认为甲乙两种诊断要领简直诊率差异，甲法简直诊率高于乙法。
7关联性分析：凭据公式3414计算关联系数：
因为r=0629，说明甲乙两种要领的诊断结果关联性较强，甲法优于乙法。
（七）两个小样本的χ2检验要领
因为χ2检验是以一条光滑曲线为基础，大样本所得的概率与其真正概率很接近。当为小样本时，如n＜40（有人认为n＜50）时，用前边讲的大样本比力的u检验或χ2检验公式计算结果都禁绝确，或偏倚较大，需要接纳小样本校正公式计算。两个小样本的检验要领有两种：一种是样本（n）偏��；一种是四格表中有理论频数中泛起0或1时。现举例说明：
1小样本校正公式（3416）：
示例3312：用甲乙两种药物治疗糖尿病坏疽创面各30个，甲药组瘢痕发生率为70%，乙药组癜痕发生率为50%。问两组之间的疗效有无统计学差异？
【解题步骤】
（1）凭据题中数据列表3413：
（2）将表3413中数字代入公式(3416)，得：
（3）结果判断：因n′=1，χ2值=7050＜χ2001（6635），故P＜001。组间有非常显著差异。
（4）结论：甲药治疗的创面瘢痕发生率低于乙药治疗组。
小样本率的χ2公式计算结果优于大样本率的χ2公式，尤其在其他检验公式所得概率接近检验水准时，宜用小样本率的χ2公式。目前许多统计学者认为：①小样本率的χ2公式误差最小，最为常用；②过去有一种误解，只有当例数小于30时，或理论频数小于5时，χ2原公式计算值中有误差，否则不必进行校正。实践证明，只要是判断P=005或P=001的显著检验，用校正公式肯定优于基本公式，即使例数大于30，或理论频数大于5，接纳校正公式也比χ2原计算要领误差小。
2 两组数据中有1或0的小样本资料计算：前边已叙述了小样本率的χ2计算公式与要领，但在实际事情中，小样本资料经常泛起理论频数小于1的情况，即T＜1。这种资料不宜用小样本计算公式计算，更不能用四格表公式计算，但宜用四格表确切概率法计算。确切概率法是由RAFisher提出的，故又称Fisher确切概率检验。此法本不属于χ2检验领域，但可作为四格表资料假设检验的增补。介绍如下：
确切概率法种种组合概率的计算公式（3417）为：
式中a、b、c、d的意义同表345，！为阶乘符号，N！=1×2×3×4×…×N，数学上规定！=1。一般计算器不能计算N≥70的阶乘，这种情况下用对数计算。
四格表中|A-T|值的特点：①各格相等，如表3414的A-T，a、d两格均为-14，b、c两格均为+14，其绝对值相等。因而计算某一四格表的|A-T|值时，只需计算表中任一格的|A-T|值即可；②依次增减四格表中任何一格的数据，可列出周边合计稳定条件下种种组合的四格表，如示例3413中的五个四格表，分别计算其|A-T|值，列于表下。由此可见，两侧的|A-T|值较大，而中间的较小。
种种组合下累计概率的计算：①双侧检验：按公式3417分别计算两侧所有|A-T|值的各四格表的P值，然后相加，即为双侧检验的P值；②单侧检验：按研究目的，只计算一侧的所有|A-T|值即是及大于样本|A-T|值得四格表的P值，然后相加，即为单侧检验的P值。
示例3313：某医生用新旧两种要领治疗烧伤后贫血病人共计27例，结果汇于表3414中，问新旧药物的疗效有无差异？
【解题步骤】
（1）建立检验假设：H0：新药与旧药治愈率相等，即π1=π2；H1：新药与旧药治愈率不相等，即π1≠π2。
（2）确定显著水准：α=005。
（3）计算概率P：本组N=25＜40，且又T＜5，故宜用确切概率法。由表3414可见，最小周边合计数为4，故所有可能的组合有5种，分别为：
（4）确定P值，做出推断结论：P值应即是所有小于样本点的种种概率之和，本例切合样本点要求者为（1）、（2）、（5），因此，P值的组合为上述三点之和，即P=00166+01423+01079=02668。按α=005水准，P＞005。不能认为两种疗法的治愈率有统计学差异。
3查四格表显著性检验用表（C值表）法：此要领简便易行，本文不再叙述，可参照有关资料查询。