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第二节 离散趋势指标
作者：徐荣祥 出书社：中国科学技术出书社 刊行日期：2009年7月
离散（dispersion）趋势指标指的是计量资料所有视察值偏离中心位置的水平（measures of variation）。描述离散趋势的主要统计指标有全距（range，R）、方差（variance）、尺度差（standard deviation）、变异系数（coefficient of variation）等。
一、全距
全距又称极差，以符号R体现。R即是一个变量的所有视察值中最大值（maximum，Max）与最小值（miximum，Max）之间的差值。计算公式为（368）：R=Max-Max。当计算计量单元相同的变量时，全距越大，视察值的离散水平越大。
如一组烧伤病人的最大烧伤面积为90%TBSA，最小面积为10%TBSA，按公式（368）计算，R=90-10=80%TBSA。
二、方差
方差是离均差平方和的平均值，方差的巨细只与视察值离散水平有关，而与视察值个数的几多无关。样本方差以符号S2体现，是总体方差的预计值，按公式（369）计算：
式中∑（X-X）2为离均差平方和， n-1为自由度（n′）。因总体方差不易得到，实际事情中常用样本方差作为总体方差的预计。
方差多用于方差分析或两个样本尺度差合并计算之用。如甲组25人，尺度差为28，乙组46人，尺度差为22，两组合并尺度差公式为（369）：
三、 尺度差
凭据上述见解，全距系指一组变量值中最大值与最小值的差 ；尺度差则体现这一组变量值漫衍的离散水平。为进一步说明其离散水平，试看下面这两组数据：
A组：80、90、100、110、120（平均数=100）
B组：98、99、100、101、102（平均数=100）
这两组数值的均数都是100，但是变量值的颠簸范围却有很大差异，A组数据最大值与最小值之差（全距）为40(120～80)，B组数据最大值与最小值之差（全距）为4(102～98)。由此可见，A组数据的颠簸范围比B组大得多。故均数不能完全说明事物内部的实质，需要用尺度差来综合分析。目前认为反映数据精确度较为完善的指标就是尺度差。
又如：甲组5例病人的烧伤总面积分别为90%、80%、70%、21%、9%TBSA，平均为54%TBSA ；乙组5例病人的烧伤总面积分别为100%、49%、49%、36%、36%TBSA，平均值也为54%TBSA，但甲组特重度病人有3例，乙组仅有1例。两组均值虽然相等，但并无同质性和可比性，同时也可看出尺度差的重要性。因为尺度差是一个个体数据偶然性颠簸巨细的尺度尺度，尺度差大，体现个体数据颠簸性大，尺度差小，体现个体数据颠簸性小。
四、尺度差计算
1直接计算公式（3610）：
S为尺度差，∑Χ2为变量值平方后的和，（∑x）2是变量值总和后的平方，n为变量个数。
示例365：测得9例创面出血病人的血小板数量分别为：30、50、40、40、50、40、30、50、149（×109/L），求它们的尺度差。
【解题步骤】
先分别求出公式（3610）中的∑Χ2和（∑Χ）2/n，及n-1值，然后代入公式。
因为∑Χ2为变量值平方后的和，即：
∑Χ2=302+502+402+402+502+402+302+502+1492=36301
［（∑Χ）2］/n=（30+50+40+40+50+40+30+50+149）2/9=254934
（n-1）为（9-1）=8
代入公式（3610），得：
答：9例创面出血病人的血小板尺度差为36755×109/L。
2大样本加权法公式
计算大样本资料，应绘制频数表资料，凭据公式（3611）计算尺度差：
式中∑fX为各组段X与本组段频数乘积之和，∑fΧ2为各组段fx与本组段X乘积之和。
示例366仍以例362为例，即某院视察了110例特重度烧伤病人的血液血红卵白含量，其浓度范围在115～150 g/L之间，求其尺度差。
【解题步骤】
凭据表362中提供的数据，将(∑f)=110、(∑fX)=13194、(∑fΧ2)=1584990代入公式（3611），得：
结果：110例烧伤病人的血红卵白尺度差为472g/L。
五、变异系数
在统计学上将变量值间的差异称为变异，表明这种变异的指标有全距、尺度差和变异系数。如上所述，尺度差的作用是用来确定两组数据的颠簸水平，一般情况下，哪一个尺度差大，哪一组的数据颠簸范围也大 ；哪一个尺度差小，其颠簸范围也小。但是，当比力差异类型的数据时，如身长与体重，或两个平均数相差较大时，若直接用尺度差判断它们的颠簸水平就不妥当了，因为尺度差只能反映绝对颠簸巨细，不能反映相对颠簸巨细。这种表达相对数颠簸巨细的指数称为变异系数，用cv或ν体现。该指标也可理解为用百分比体现的尺度差，即尺度差（s）与均数（X）之比。其公式为（3612）：
示例367某院视察了7岁男孩身高均数为12116cm，尺度差为431cm，胸围均数5771cm，尺度差为282cm。比力两者的变异水平。
【解题步骤】
凭据公式（3612），分别求身长变异系数和胸围变异系数：
答：本例身长均数明显大于胸围均数，若与尺度差直接比力，胸围的变异系数似乎小于身长，但经过变异系数计算，结论为胸围的变异水平并不比身长变异水平小。由此可见，身长的变异水平比胸围稳定。
六、尺度误
因为均数的尺度误与样本尺度差相似，都是说明离散水平的指标，故在此作一介绍。变异系数均数尺度误有两种，一种是总体尺度误，一种是样本尺度误。总体尺度误（σx）和样本尺度误（sx、SE、SEM）是体现均数误差水平的指标。在医学研究中，常在总体中抽出一部门作为样本，然后再凭据样本的视察结果推论总体情况。但是，由于在同一总体中的个体之间一定存在着差异（如同是50%TBSA烧伤），样本均数与总体均数之间存在差异，各个样本均数之间一定发生差异，谓之尺度误（sx），是由抽样引起的。尺度误越小，说明样本均数与总体均数越接近，用样本均数推论总体均数的可能性越大 ；反之，尺度误越大，说明用样本均数推论总体均数的可能性越小。故均数尺度误是测定样本均数变异范围的尺度。在医学资料中，常用样本均数±尺度误的形式（x±sx）体现资料的可靠水平。一般来说，在x±1×sx的范围内，总体均数泛起的概率为683% ；在x±2×sx的范围内，总体均数泛起的概率为95%，或者说有95%以上的掌握可认为总体均数在这个范围之内，也可认为重复同样实验100次，得出100个均数，会有95%以上的均数漫衍在x±2×sx的范围内。公式（3613）为：
sx为尺度误，s为样本尺度差，n为样本个数。
示例368某院抽查了100例病人的血液红细胞数量，其样本均值为50×109/L，样本尺度差为246×109/L，求其尺度误。
【解题步骤】
凭据公式（3613），求得：
答：本例样本尺度误为0246（×109/L），资料的可靠水平为50±0246（×109/L）。
七、平均数、尺度差、尺度误的应用
1体现正常范围如体温、脉搏，血压，红细胞，白细胞等正常值等计算均需要尺度差的加入。正常值范围一般是以平均数±2个尺度差作为划定界限，现以红细胞为例说明这个问题。如我们所求得的健康男子红细胞平均值为50×109/L，尺度差为25×109/L，则正常男子红细胞的正常值可定为50±2×25，即45×109/L～55×109/L范围内。但应注意，在应用此要领时，变量的漫衍必须是正态漫衍，如属于非正态漫衍者，应接纳其他要领计算。
2预计受试工具所需样本数
（1）利用尺度误公式推算样本数：
示例369某医院测定了80名严重烧伤患者早期血液肌酐（Cr）含量，测定结果：均数（x）=1548μmmol/L，尺度差(s)=158μmmol/L ，尺度误=1778μmmol/L， 即目前95%的置信限为1548±354μmmol/L ，欲求95%的置信限在158±20μmmol/L的范围内，需要视察几多例才气泛起这种结果?
【解题步骤】
①凭据尺度误计算公式(3613)推算样本数（n），公式为(3614)：
②因为95%的置信限为x±2×sx，今求2×sx=20，即sx=10。把有关数据代入公式（3614），得：
③结论：若把视察人数增加到250人，可能使置信限范围到达1548±20μmol/L 。
（2）利用两合并尺度差推算样本数：
示例3510某医生用某药治疗粒细胞减少症，为视察某药物用口服要领及肌肉注射要领对最高疗效泛起时间(天)的影响。凭据预备试验结果，口服法最高疗效泛起的平均时间为222天，肌肉注射法为175天，合并尺度差(s)为1391天。问各组需视察几多例才气使两组均数的差异有显著意义?
【解题步骤】
①本例是两个样本平均数作比力的资料，当两组样底细等时，其样本巨细的预计公式为（3615）：
n=每组例数，t005=表中查出的尺度值，s=合并尺度差，x1-x2=两组均数差。
②当n≥30时，查表得出t005=20，因x1-x2=475，s=1391，代入公式（3615）：
③结论：每组需要视察69例才气使两组均数差异有显著意义。